Как Александрийската библиотека изчисли размера на Земята с пръчка и кервани

Сянката в Александрия и кладенецът в Сиена

Когато около 240 година преди новата ера Ератостен поема управлението на Александрийската библиотека, той не разполага с геодезични инструменти, нито с глобални карти. Разполага единствено с натрупания архивен прах от доклади на търговци, военни хроники и географски Бележки. В този масив от сурова информация изниква един конкретен топографски детайл. В град Сиена, днешен Асуан, в деня на лятното слънцестоене по обяд, слънчевите лъчи падат под такъв ъгъл, че осветяват дъното на най-дълбоките кладенци. Вертикално забитите стълбове там не хвърлят никаква сянка. Слънцето се намира в зенита си.

За администрацията на Птолемеите това е просто географска любопитка от южните граници на Египет. За Ератостен обаче това е физическа отправна точка. В същия ден и в същия час той измерва сянката, хвърлена от вертикален прът – гномон – в Александрия. За разлика от Сиена, тук сянка има. Тя образува спрямо пръта ъгъл от около 7,2 градуса, което представлява точно една петдесета част от пълния кръг от 360 градуса.

Тук обаче започва първата пробойна в теорията, за която академичните учебници често спестяват детайли. Ератостен стъпва върху предположението, че Александрия и Сиена лежат на един и същ меридиан, тоест на права линия север-юг. В реалността Сиена се намира с близо 3 градуса по-наизток. Освен това самият град не е разположен точно върху Тропика на Рака, а на малка дистанция северно от него. При измерването на ъгъла тези две географски разминавания създават системна грешка. На хартия изчисленията изглеждат безупречни, но на терен ъгълът и разстоянието вече са изкривени от самото начало.

Логистиката на крачките и проблемът с мерните единици

За да превърне ъгъла от 7,2 градуса в километри, ученият се нуждае от физическото разстояние между двата града. Тъй като не съществуват нито спидометри, нито прецизни вериги за триангулация, измерването пада върху раменете на така наречените бематисти – професионални пехотинци, чиято единствена задача е да броят крачките си по протежение на търговските пътища. Алтернативният източник на данни са дневниците на караваните, при които разстоянието се определя чрез премножаване на дните път по средния дневен преход на товарните животни през пясъците.

Резултатът, заложен в античните изчисления, е 5000 стадия. Умножено по 50, това дава обиколка на планетата от 250 000 стадия. Но тук влизаме в истинско архивно гробище от метрологични противоречия. Античният свят не познава единен еталон за стадий. В зависимост от това кой исторически източник се ползва, стойността на тази единица варира драматично.

Ако приемем, че Ератостен е използвал египетския стадий от 157,5 метра, крайният резултат за обиколката на Земята възлиза на 39 375 километра. Спрямо съвременния полярен меридиан от 40 008 километра разликата е едва около 1,6%. Това е впечатляващо постижение за аритметика от трети век преди новата ера. Но ако ученият е боравил с атическия стадий от 185 метра, тогава планетата изведнъж набъбва до 46 250 километра, а грешката скача над 15%. Съществува и хипотеза за използването на италиански стадий от 175 метра, което пък дава около 43 750 километра.

Никой днес не може да потвърди със сигурност коя точно мярка е била заложена в александрийските папируси. Парадоксът в случая е, че грубостта на началните данни и грешката в географските координати на Сиена до голяма степен се взаимно компенсират. Неточното определяне на разстоянието по пътя на камилите случайно изглажда неточността от отклонението в меридиана.